SymPy — уравнения и производные

НЕ ОБЯЗАТЕЛЬНОДЛЯ НОВИЧКОВ

Готовые скрипты SymPy с разбором каждой строки: скопировали код → подставили свои числа из задачи → получили ответ. Подойдёт, если вы гуглите «sympy решить уравнение», «python найти производную», «sympy квадратное уравнение пример», «sympy производная sin» или «как проверить домашку по матану».

Символьная математика на Python

SymPy — библиотека Python для математики в буквах. Обычный калькулятор и модуль math считают только с числами: sqrt(9) → 3.0. SymPy работает с формулами: находит корни x² − 5x + 6 = 0, берёт производную sin(x), упрощает (x+1)² до x² + 2x + 1.

Зачем это нужно на практике:

Ситуация	Калькулятор / `math`	SymPy
«Сколько будет 2 + 2?»	Достаточно	Избыточно
«Решить 2x + 3 = 11»	Можно в уме	Удобно проверить
«Корни x² − 7x + 12 = 0»	Только численно	Точный ответ `[3, 4]`
«Производная x³ − 4x»	Не умеет	`3x² − 4`
«Проверить, правильно ли я решил ДЗ»	Долго пересчитывать	Одна строка кода

SymPy используют школьники (алгебра, начала анализа), студенты (матан, физика, лабораторные) и инженеры, когда нужен точный символьный ответ, а не приближение.

С чего начать

График функции после расчёта — Matplotlib — примеры, теория — Matplotlib — графики. Красивые формулы в PDF — LaTeX, языки разметки. Численные массивы — NumPy, обзор — NumPy, SciPy и pandas, Python для анализа данных. Символьная vs численная математика — Численные методы. Здесь — решить уравнение и взять производную в Python с разбором, как в популярной галерее Turtle.

Частые запросы в Google — куда смотреть

Ищут в интернете (RU / EN)	Раздел ниже
sympy решить уравнение / solve equation	Линейное уравнение
sympy квадратное уравнение / quadratic	Квадратное уравнение
sympy дискримinant / корни через дискримinant	Дискримinant
sympy система уравнений / system of equations	Система уравнений
sympy производная / derivative example	Производная многочлена
sympy производная sin cos	Производная sin и cos
python найти производную функции	Обязательный шаблон
sympy вторая производная	Вторая производная
sympy частная производная	Частная производная
sympy упростить выражение / simplify	Упрощение
sympy подставить значение / subs	Подстановка числа
sympy предел / limit sin x / x	Предел
sympy интеграл / integrate	Интеграл
sympy latex формула	LaTeX для отчёта
sympy экстремум / исследование функции	Точки экстремума

Как запустить пример за 2 минуты

Шаг 1. Установите SymPy (один раз):

pip install sympy

Разбор:

pip — программа, которая скачивает библиотеки Python; на Windows откройте «cmd» или PowerShell, на macOS — «Терминал».
install sympy — скачать и подключить SymPy; интернет нужен только в момент установки.
Если pip не найден — Python установлен без галочки «Add to PATH»; переустановите Python с python.org или используйте Google Colab (SymPy там уже есть).

Шаг 2. Скопируйте любой блок кода ниже в файл uravnenie.py.

Шаг 3. Запустите:

python uravnenie.py

Разбор:

python — интерпретатор; на некоторых системах команда python3.
Имя файла должно совпадать с тем, что вы сохранили.
Результат появится в чёрном окне терминала — это нормально, графическое окно SymPy не открывает.

Шаг 4 (необязательно). В Google Colab или Jupyter формулы красивее — добавьте в первую ячейку:

from sympy import init_printing
init_printing(use_unicode=True)

Разбор:

init_printing() — включает «типографский» вывод: дроби, степени и корни выглядят как в учебнике, а не как x**2.
use_unicode=True — символы вроде π, √, ∈; на старых консолях Windows иногда «квадратики» — тогда оставьте False или смотрите вывод в Colab.
В обычном .py-файле на Windows можно обойтись без этого — достаточно print().

Кому подойдёт эта страница

Школьникам (8–11 класс) — линейное и квадратное уравнение, система из двух неизвестных, производная многочлена.
Студентам — частные производные, пределы, интегралы, проверка ручного решения, LaTeX для отчёта.
Тем, кто учит Python — готовый шаблон: меняете коэффициенты в одной строке и сдаёте ответ.

Базовые термины

Термин	Простыми словами	Аналог в школе
`Symbol` / `symbols`	Буква x, y, t — «неизвестная», не число	«Пусть x — корень…»
`Eq(левая, правая)`	Запись уравнения a = b	Строка в тетради с «=»
`solve`	Найти все x (или x и y), при которых уравнение верно	«Решим уравнение…»
`diff`	Производная по x	Штрих: f′(x)
`integrate`	Интеграл (первообразная)	∫ f(x) dx
`simplify`	Сократить, привести к простому виду	«Приведём подобные…»
`expand`	Раскрыть скобки	(x+1)² → x²+2x+1
`factor`	Разложить на множители	x²−9 → (x−3)(x+3)
`subs`	Подставить число вместо буквы	«При x = 2 получим…»
`Rational(1, 3)`	Точная дробь ⅓ без ошибок float	Обыкновенная дробь

Какую функцию выбрать

Задача из учебника	Функция SymPy	Одна строка
Объявить x и y	`symbols`	`x, y = symbols("x y")`
Записать «2x + 3 = 11»	`Eq`	`Eq(2*x + 3, 11)`
Решить одно уравнение	`solve`	`solve(Eq(x*2 - 5x + 6, 0), x)`
Решить систему	`solve` + список	`solve([Eq(...), Eq(...)], x, y)`
Производная	`diff`	`diff(x*3 - 4x, x)`
Вторая производная	`diff` с 2	`diff(f, x, 2)`
Частная ∂/∂x	`diff` по x	`diff(f, x)` — y «константа»
Упростить sin²+cos²	`simplify`	`simplify(sin(x)2 + cos(x)2)`
Подставить x = 5	`subs`	`expr.subs(x, 5)`
Предел	`limit`	`limit(sin(x)/x, x, 0)`
Формула для LaTeX	`latex`	`latex(diff(sin(x), x))`

Обязательные элементы

Любой скрипт с SymPy — как рецепт: импорт → буквы → формула → действие → print. Запомните этот каркас — дальше меняете только середину.

from sympy import symbols, Eq, solve, diff

# 1. Объявляем букву (неизвестную)
x = symbols("x")

# 2. Записываем выражение или уравнение
expr = x**2 + 2*x + 1          # многочлен
equation = Eq(expr, 0)         # уравнение «expr = 0»

# 3. Считаем то, что нужно в задаче
roots = solve(equation, x)
proizvodnaya = diff(expr, x)

# 4. Показываем результат (в .py без print экран пустой)
print("Уравнение:", equation)
print("Корни:", roots)
print("Производная:", proizvodnaya)

Что выведет программа (примерно так, вид может чуть отличаться):

Уравнение: Eq(x**2 + 2*x + 1, 0)
Корни: [-1]
Производная: 2*x + 2

Разбор по строкам:

Строка	Что делает	Зачем
`from sympy import symbols, Eq, solve, diff`	Подключает только нужные функции	Короче писать `solve`, а не `sympy.solve`
`x = symbols("x")`	Создаёт символ x	Без этого `x` — просто имя переменной Python, формулы не получится
`expr = x*2 + 2x + 1`	Многочлен в буквах	`*` — степень; `2x` — умножение (знак `*` обязателен)
`Eq(expr, 0)`	Уравнение «многочлен = 0»	В SymPy «=» в уравнении — через `Eq`, не через `==`
`solve(equation, x)`	Ищет все x, где уравнение верно	Возвращает список корней; здесь один корень −1
`diff(expr, x)`	Производная по x	Правило: (x²)′ = 2x, (2x)′ = 2, (1)′ = 0 → `2*x + 2`
`print(...)`	Текст в терминал	В Jupyter последнюю строку можно без print — в `.py` нужен всегда

Что поменять под своё задание: замените expr на свой многочлен; если уравнение «= 5», пишите Eq(левая_часть, 5).

Типичные ошибки (и что видите на экране)

x = 5 до symbols("x") — x уже число, diff(x**2) даст 0.
x**2 + 2x + 1 без * перед x — SyntaxError: Python не понимает «2x».
solve(x + 2 == 5, x) — иногда работает, но правильный стиль: solve(Eq(x + 2, 5), x).
from math import sin + символ x — sin(x) не дифференцируется; берите from sympy import sin.
Ждёте одно число, а solve вернул список [3, 4] — берите roots[0] или перебирайте циклом.

Стартовые примеры

Семь задач, которые чаще всего ищут: линейное, квадратное, система, производная, sin/cos, упрощение, подстановка.

Линейное уравнение

Зачем: в тетради «переносим 3 вправо, делим на 2». В Python — проверить ответ или решить, если коэффициенты неудобные.

Задача из учебника: решить 2x + 3 = 11.

from sympy import symbols, Eq, solve

x = symbols("x")

# Уравнение: левая часть, правая часть
equation = Eq(2*x + 3, 11)

# solve(что_равно_нулю_или_Eq, по_какой_букве)
solution = solve(equation, x)

print("Уравнение:", equation)
print("Список корней:", solution)
print("x =", solution[0])
print("Проверка (подставили x):", equation.subs(x, solution[0]))

Что выведет:

Уравнение: Eq(2*x + 3, 11)
Список корней: [4]
x = 4
Проверка (подставили x): True

Разбор по строкам:

Строка	Смысл
`Eq(2*x + 3, 11)`	«2x + 3 = 11»; *2x** — обязательно звёздочка между числом и буквой
`solve(equation, x)`	SymPy «переносит» и «делит» символьно; ответ список `[4]`
`solution[0]`	Первый элемент списка — единственный корень линейного уравнения
`equation.subs(x, solution[0])`	Подставляем x = 4 в уравнение; должно быть `True` — значит, не ошиблись

Что поменять: Eq(5*x - 7, 18) — ваши коэффициенты; solve и solution[0] те же.

Квадратное уравнение

Зачем: дискримinant, формула корней, разложение на множители — SymPy делает всё сразу.

Задача: x² − 5x + 6 = 0 (ожидаемые корни 2 и 3).

from sympy import symbols, Eq, solve, expand, factor

x = symbols("x")

# ax² + bx + c — знаки минус пишем явно
expr = x**2 - 5*x + 6
equation = Eq(expr, 0)

roots = solve(equation, x)

print("Многочлен:", expr)
print("Разложение на множители:", factor(expr))
print("Корни:", roots)

# Проверка каждого корня
for r in roots:
    print(f"  При x = {r} значение многочлена = {expr.subs(x, r)}")

Что выведет:

Многочлен: x**2 - 5*x + 6
Разложение на множители: (x - 2)*(x - 3)
Корни: [2, 3]
  При x = 2 значение многочлена = 0
  При x = 3 значение многочлена = 0

Разбор по строкам:

Строка	Смысл
`x*2 - 5x + 6`	Стандартный вид ax²+bx+c; для `x² − 7x + 12` меняете числа
`factor(expr)`	(x−2)(x−3) — видно корни глазами; полезно для объяснения учителю
`solve`	Тот же ответ `[2, 3]`; порядок корней может быть `[3, 2]` — это нормально
`for r in roots`	Цикл проверяет каждый корень; в списке два — перебираем оба

Что поменять: ваши a, b, c в строке expr = ....

Дискримinant (для отчёта и самопроверки)

Зачем: в школе просят «найти D и корни» — SymPy считает D, а solve даёт корни.

Задача: для x² − 4x + 3 = 0 показать D и x₁, x₂.

from sympy import symbols, Eq, solve, discriminant, sqrt

x = symbols("x")

a, b, c = 1, -4, 3
expr = a*x**2 + b*x + c

D = discriminant(expr, x)
roots = solve(Eq(expr, 0), x)

print("Уравнение:", Eq(expr, 0))
print("D =", D)
print("√D =", sqrt(D))
print("Корни:", roots)

Что выведет:

Уравнение: Eq(x**2 - 4*x + 3, 0)
D = 4
√D = 2
Корни: [1, 3]

Разбор:

discriminant(expr, x) — формула D = b² − 4ac символьно; для этих коэффициентов D = 4.
sqrt(D) — корень из D; SymPy оставляет 2, а не 1.999… как float.
Коэффициенты a, b, c вынесены в переменные — удобно менять одной строкой.

Система двух уравнений с двумя неизвестными

Зачем: задачи «у двух чисел сумма 10, разность 2 — найти числа»; метод подстановки/сложения SymPy делает сам.

Задача: x + y = 10, x − y = 2.

from sympy import symbols, Eq, solve

x, y = symbols("x y")

system = [
    Eq(x + y, 10),
    Eq(x - y, 2),
]

result = solve(system, x, y)

print("Система:")
for i, eq in enumerate(system, 1):
    print(f"  ({i}) {eq}")
print("Ответ (словарь):", result)
print("x =", result[x], ", y =", result[y])
print("Проверка (1):", system[0].subs(result))
print("Проверка (2):", system[1].subs(result))

Что выведет:

Система:
  (1) Eq(x + y, 10)
  (2) Eq(x - y, 2)
Ответ (словарь): {x: 6, y: 4}
x = 6 , y = 4
Проверка (1): True
Проверка (2): True

Разбор по строкам:

Строка	Смысл
`x, y = symbols("x y")`	Две неизвестные; пробел в строке `"x y"` — разделитель
`system = [Eq(...), Eq(...)]`	Список уравнений; порядок строк не важен
`solve(system, x, y)`	Ответ — словарь `{x: 6, y: 4}`, не два списка
`result[x]`	Достаём x по ключу; надёжнее, чем `result[0]`
`.subs(result)`	Подставляет оба x и y сразу во всё уравнение

Что поменять: правые части 10 и 2 на числа из вашей задачи.

Производная многочлена

Зачем: домашка «найти f′(x)» для f(x) = x⁴ − 3x² + 5x − 7; SymPy — эталон для сверки.

Правило из учебника: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹.

from sympy import symbols, diff

x = symbols("x")

f = x**4 - 3*x**2 + 5*x - 7
df = diff(f, x)

print("f(x)  =", f)
print("f'(x) =", df)
print("f'(1) =", df.subs(x, 1))

Что выведет:

f(x)  = x**4 - 3*x**2 + 5*x - 7
f'(x) = 4*x**3 - 6*x + 5
f'(1) = 3

Разбор по строкам:

Строка	Смысл
`f = x*4 - 3x**2 + ...`	Запись функции; каждый член — отдельное слагаемое
`diff(f, x)`	«Производная f по x»; второй аргумент обязателен
`4x3 - 6x + 5`	(x⁴)′=4x³, (−3x²)′=−6x, (5x)′=5, (−7)′=0
`df.subs(x, 1)`	Значение производной в точке x = 1; для отчёта «найти f′(1)»

Что поменять: коэффициенты в f = ...; для f′(2) подставьте df.subs(x, 2).

Производная sin x и cos x

Зачем: таблица производных (sin)′ = cos, (cos)′ = −sin; плюс правило произведения для sin x · cos x.

from sympy import symbols, diff, sin, cos, simplify

x = symbols("x")

print("(sin x)' =", diff(sin(x), x))
print("(cos x)' =", diff(cos(x), x))

prod = sin(x) * cos(x)
d_prod = diff(prod, x)
print("(sin x * cos x)' =", d_prod)
print("Упрощённо:", simplify(d_prod))

Что выведет:

(sin x)' = cos(x)
(cos x)' = -sin(x)
(sin x * cos x)' = -sin(x)**2 + cos(x)**2
Упрощённо: cos(2*x)

Разбор:

from sympy import sin, cos — не math.sin: модуль math не знает символ x.
(sin x · cos x)′ — правило произведения; simplify сворачивает в cos(2x) через формулу двойного угла.
Минус у (cos x)′ — частая ошибка в ДЗ; сверяйте знак.

Вторая производная и точка перегиба

Зачем: «найти f''(x)», «где f''(x) = 0» — черновик к исследованию функции.

from sympy import symbols, diff, solve, Eq

x = symbols("x")

f = x**3 - 6*x**2 + 9*x
f1 = diff(f, x)
f2 = diff(f, x, 2)

print("f(x)   =", f)
print("f'(x)  =", f1)
print("f''(x) =", f2)
print("f''(x) = 0 при x =", solve(Eq(f2, 0), x))

Что выведет:

f(x)   = x**3 - 6*x**2 + 9*x
f'(x)  = 3*x**2 - 12*x + 9
f''(x) = 6*x - 12
f''(x) = 0 при x = [2]

Разбор:

diff(f, x, 2) — вторая производная; то же, что два раза diff(f, x).
solve(Eq(f2, 0), x) — где f'' обнуляется; x = 2 — кандидат в точку перегиба (нужна ещё смена знака f'').
Полный график — Matplotlib; SymPy даёт формулы, график — «картинка для отчёта».

Частная производная (2–3 курс, несколько переменных)

Зачем: f(x, y) = x²y + sin y — «найти ∂f/∂x и ∂f/∂y»; одна буква «замирает», как константа.

from sympy import symbols, diff, sin

x, y = symbols("x y")

f = x**2 * y + sin(y)

df_dx = diff(f, x)
df_dy = diff(f, y)

print("f(x,y) =", f)
print("∂f/∂x =", df_dx, "  (y как константа)")
print("∂f/∂y =", df_dy, "  (x как константа)")

Что выведет:

f(x,y) = x**2*y + sin(y)
∂f/∂x = 2*x*y   (y как константа)
∂f/∂y = x**2 + cos(y)   (x как константа)

Разбор:

diff(f, x) — y не меняется → множитель y остаётся при (x²)′ = 2x.
diff(f, y) — x² как число → производная y равна x²; (sin y)′ = cos y.
Смешанная ∂²f/∂x∂y: diff(f, x, y).

Упрощение — раскрыть скобки, sin²+cos², разложить

Зачем: «приведите к виду…», «докажите тождество» — SymPy сокращает рутину.

from sympy import symbols, expand, factor, simplify, sin, cos

x = symbols("x")

expr1 = (x + 3)**2
expr2 = sin(x)**2 + cos(x)**2
expr3 = x**2 - 9

print("Раскрыть (x+3)²     :", expand(expr1))
print("sin²x + cos²x       :", simplify(expr2))
print("Разложить x² - 9    :", factor(expr3))

Что выведет:

Раскрыть (x+3)²     : x**2 + 6*x + 9
sin²x + cos²x       : 1
Разложить x² - 9    : (x - 3)*(x + 3)

Разбор:

Функция	Когда использовать
`expand`	Нужны слагаемые без скобок
`factor`	Нужны множители (корни видны)
`simplify`	«Сделайте проще» — SymPy сам выбирает шаги

Подстановка числа — найти f(2) и f′(2)

Зачем: формула уже есть, нужно число для таблицы или ответа «в точке x₀».

from sympy import symbols, diff, Rational

x = symbols("x")

f = x**3 - 2*x
df = diff(f, x)

x0 = 2
print("f(2)  =", f.subs(x, x0))
print("f'(2) =", df.subs(x, x0))

half = Rational(1, 2)
print("f(1/2) =", f.subs(x, half))

Что выведет:

f(2)  = 4
f'(2) = 10
f(1/2) = -7/8

Разбор:

.subs(x, x0) — «везде вместо x поставь x0»; работает и для df.
Rational(1, 2) — точная дробь ½; результат −7/8, а не −0.8750000001.
Несколько букв: expr.subs({x: 1, y: 2}).

Предел — замечательный lim sin x / x

Зачем: первый курс, «доказать, что предел равен 1» — SymPy знает таблицу.

from sympy import symbols, limit, sin, oo

x = symbols("x")

L1 = limit(sin(x)/x, x, 0)
L2 = limit(1/x, x, oo)

print("lim sin(x)/x при x→0 =", L1)
print("lim 1/x при x→+∞     =", L2)

Что выведет:

lim sin(x)/x при x→0 = 1
lim 1/x при x→+∞     = 0

Разбор:

limit(выражение, x, точка) — x стремится к точке; 0 — обычное число.
oo — бесконечность SymPy (две буквы o); импорт from sympy import oo.
Для предела слева/справа: limit(..., x, 0, dir='+').

Неопределённый интеграл

Зачем: «найти первообразную» — обратная операция к производной; константу C в школе дописывают от руки.

from sympy import symbols, integrate, diff

x = symbols("x")

f = x**3 - 3*x
F = integrate(f, x)

print("f(x) =", f)
print("∫f dx =", F, "+ C")
print("Проверка: (F)' =", diff(F, x))

Что выведет:

f(x) = x**3 - 3*x
∫f dx = x**4/4 - 3*x**2/2 + C
Проверка: (F)' = x**3 - 3*x

Разбор:

integrate(f, x) — первообразная; SymPy не пишет + C — добавьте в отчёт сами.
diff(F, x) снова даёт f — лучшая самопроверка.
Определённый интеграл от 0 до 1: integrate(f, (x, 0, 1)).

Примеры по темам

1. Уравнения посложнее

1.1. Уравнение с дробью

Задача: (x + 1)/(x − 2) = 3.

from sympy import symbols, Eq, solve

x = symbols("x")

eq = Eq((x + 1)/(x - 2), 3)
solutions = solve(eq, x)

print("Уравнение:", eq)
print("Корни:", solutions)
for s in solutions:
    print(f"  x = {s}: левая часть = {(x + 1)/(x - 2).subs(x, s)}")

Что выведет:

Уравнение: Eq((x + 1)/(x - 2), 3)
Корни: [7/2]
  x = 7/2: левая часть = 3

Разбор:

SymPy умножает обе части на (x − 2) символьно.
ОДЗ: x ≠ 2; если корень обнуляет знаменатель — отбросить вручную.
Дробный ответ 7/2 — это 3.5; для отчёта можно float(7/2).

1.2. Уравнение с параметром a

Задача: ax + 2 = 8 → выразить x через a.

from sympy import symbols, Eq, solve

x, a = symbols("x a")

eq = Eq(a*x + 2, 8)
sol = solve(eq, x)

print("x =", sol[0])
print("При a = 2:", sol[0].subs(a, 2))

Что выведет:

x = 6/a
При a = 2: 3

Разбор:

Ответ 6/a — общая формула; при a = 0 уравнение 2 = 8 — нет решений; SymPy это отдельно не расписывает.
Для курсовой с параметром перебирайте a = 0 вручную.

2. Исследование функции

2.1. Экстремумы — где f′(x) = 0

Задача: f(x) = x³ − 3x² + 2 — найти критические точки и знак f''.

from sympy import symbols, diff, solve, Eq

x = symbols("x")

f = x**3 - 3*x**2 + 2
f1 = diff(f, x)
f2 = diff(f, x, 2)

critical = solve(Eq(f1, 0), x)

print("f'(x) =", f1)
print("f'(x) = 0 при x =", critical)
print()
for c in critical:
    val_f2 = f2.subs(x, c)
    kind = "минимум?" if val_f2 > 0 else ("максимум?" if val_f2 < 0 else "нужен доп. тест")
    print(f"  x = {c}, f'' = {val_f2} → {kind}")

Что выведет:

f'(x) = 3*x**2 - 6*x
f'(x) = 0 при x = [0, 2]

  x = 0, f'' = -6 → максимум?
  x = 2, f'' = 6 → минимум?

Разбор:

critical — точки, где касательная горизонтальна.
f'' > 0 → «чаша вверх» → минимум; f'' < 0 → максимум (для гладких f).
График для наглядности — построить f(x) в Matplotlib.

2.2. Сложная функция — sin(x² + 1)

Зачем: цепное правило (сложная функция) — частая ошибка в ДЗ.

from sympy import symbols, diff, sin

x = symbols("x")

f = sin(x**2 + 1)
df = diff(f, x)

print("f(x)  =", f)
print("f'(x) =", df)

Что выведет:

f(x)  = sin(x**2 + 1)
f'(x) = 2*x*cos(x**2 + 1)

Разбор:

Внешняя sin → cos; внутренняя (x²+1) → 2x; перемножаем: 2x·cos(x²+1).
Сверьте с ручным решением — если совпало, цепочка правильная.

2.3. Физика — путь и скорость (производная по времени)

Задача: s(t) = 5t² + 2t — найти v(t) = s′(t) и v при t = 3.

from sympy import symbols, diff

t = symbols("t")

s = 5*t**2 + 2*t
v = diff(s, t)

print("s(t) =", s, "  (метры)")
print("v(t) = s'(t) =", v, "  (м/с)")
print("v(3) =", v.subs(t, 3), " м/с")

Что выведет:

s(t) = 5*t**2 + 2*t   (метры)
v(t) = s'(t) = 10*t + 2   (м/с)
v(3) = 32  м/с

Разбор:

Буква t — время; symbols("t") так же, как x.
(5t²)′ = 10t, (2t)′ = 2 — равномерное ускорение в модели.

3. Красивый вывод и LaTeX

Зачем: вставить формулу в Word/Overleaf без ручного набора дробей.

from sympy import symbols, diff, sin, latex

x = symbols("x")
f = sin(x)/x
df = diff(f, x)

print("Производная (обычный print):")
print(df)
print()
print("LaTeX для отчёта:")
print(latex(df))

Что выведет (LaTeX-строка):

LaTeX для отчёта:
\frac{x \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}}{x^{2}}

Разбор:

latex(df) — готовая строка; в Overleaf: $...$ или \begin{equation}...\end{equation}.
Подробнее про документ — LaTeX — формулы для отчётов.

4. Переиспользуемые шаблоны

4.1. Решить уравнение и проверить корни

from sympy import symbols, Eq, solve

def solve_and_print(equation, variable):
    """equation — Eq(...); variable — символ, например x."""
    roots = solve(equation, variable)
    print("Уравнение:", equation)
    print("Корни:", roots)
    for r in roots:
        left = equation.lhs.subs(variable, r)
        right = equation.rhs.subs(variable, r)
        print(f"  x = {r}: {left} = {right} ?", left == right)

x = symbols("x")
solve_and_print(Eq(x**2 - 9, 0), x)

Разбор:

equation.lhs / .rhs — левая и правая части уравнения.
Цикл для каждого корня — у квадратного их два, проверять оба.
Вынесите в функцию — для контрольной меняете только Eq(...).

4.2. Производная n-го порядка

from sympy import symbols, diff, sin

def nth_derivative(expr, variable, n=1):
    return diff(expr, variable, n)

x = symbols("x")
print("4-я производная sin(x) =", nth_derivative(sin(x), x, 4))

Что выведет: sin(x) — цикл sin → cos → −sin → −cos → sin.

4.3. Шаблон «своя задача за 30 секунд»

Скопируйте, заполните три строки с # ←:

from sympy import symbols, Eq, solve, diff

x = symbols("x")

# ← Ваше уравнение, например 3*x - 1 = 8
equation = Eq(3*x - 1, 8)

# ← Или ваш многочлен для производной
f = x**3 - x

print("Корни:", solve(equation, x))
print("f'(x) =", diff(f, x))

Частые задания из школы и вуза

Задание	Раздел
Решить 2x + 5 = 13	Линейное
x² − 7x + 12 = 0	Квадратное
Найти D и корни	Дискримinant
x + y = 5, x − y = 1	Система
Производная x³ − 4x	Многочлен
(sin x · cos x)′	sin и cos
f''(x), точка перегиба	Вторая производная
∂f/∂x для x²y	Частная
lim sin x / x	Предел
∫ (x³ − 3x) dx	Интеграл
Экстремум x³ − 3x²	Экстремумы
Формула в LaTeX	LaTeX

Как сдавать работу

В тетради — полное решение от руки с обоснованием. SymPy — проверка и черновик, если преподаватель разрешает калькулятор/компьютер. Для отчёта: формула из latex(...) → LaTeX; график f(x) → Matplotlib.

SymPy и Wolfram Alpha / калькулятор

Wolfram Alpha в браузере делает то же символьно — удобно на телефоне. SymPy выгоден, когда ответ нужно встроить в Python-скрипт (лабораторная, автопроверка ДЗ, 100 задач в цикле). Калькулятор Casio — только числа; SymPy — формулы и точные дроби.

См. также

Matplotlib — графики (примеры) — нарисовать f(x) после SymPy
LaTeX — формулы для отчётов — оформить формулы в PDF
NumPy — массивы и матрицы (примеры) — численные расчёты и массивы
Анализ данных — NumPy, SciPy — теория стека
Примеры фигур Turtle — другая популярная галерея Python для учёбы
Pandas — типовые операции — таблицы с результатами измерений
Python — работа с файлами — сохранить вывод в файл

См. также

Другие статьи этого же раздела в боковом меню (как на странице "О разделе").

Символьная математика на Python​

Частые запросы в Google — куда смотреть​

Как запустить пример за 2 минуты​

Базовые термины​

Какую функцию выбрать​

Обязательные элементы​

Стартовые примеры​

Линейное уравнение​

Квадратное уравнение​

Дискримinant (для отчёта и самопроверки)​

Система двух уравнений с двумя неизвестными​

Производная многочлена​

Производная sin x и cos x​

Вторая производная и точка перегиба​

Частная производная (2–3 курс, несколько переменных)​

Упрощение — раскрыть скобки, sin²+cos², разложить​

Подстановка числа — найти f(2) и f′(2)​

Предел — замечательный lim sin x / x​

Неопределённый интеграл​

Примеры по темам​

1. Уравнения посложнее​

1.1. Уравнение с дробью​

1.2. Уравнение с параметром a​

2. Исследование функции​

2.1. Экстремумы — где f′(x) = 0​

2.2. Сложная функция — sin(x² + 1)​

2.3. Физика — путь и скорость (производная по времени)​

3. Красивый вывод и LaTeX​

4. Переиспользуемые шаблоны​

4.1. Решить уравнение и проверить корни​

4.2. Производная n-го порядка​

4.3. Шаблон «своя задача за 30 секунд»​

Частые задания из школы и вуза​

См. также​

Связанные темы

См. также

📄️Готовые решения

📄️Простой консольный чат на CSharp

📄️HTML + CSS — готовые макеты

📄️Примеры фигур Turtle на Python

📄️Примеры фигур Panda3D на Python

📄️Docker Compose — готовые стеки

📄️Nginx — конфиги под задачу

📄️Dockerfile — 10 типовых образов

📄️Prometheus + Grafana — запросы

📄️Kubernetes YAML — минимальные манифесты

📄️Matplotlib — графики

📄️Pandas — типовые операции

Символьная математика на Python

Частые запросы в Google — куда смотреть

Как запустить пример за 2 минуты

Базовые термины

Какую функцию выбрать

Обязательные элементы

Стартовые примеры

Линейное уравнение

Квадратное уравнение

Дискримinant (для отчёта и самопроверки)

Система двух уравнений с двумя неизвестными

Производная многочлена

Производная sin x и cos x

Вторая производная и точка перегиба

Частная производная (2–3 курс, несколько переменных)

Упрощение — раскрыть скобки, sin²+cos², разложить

Подстановка числа — найти f(2) и f′(2)

Предел — замечательный lim sin x / x

Неопределённый интеграл

Примеры по темам

1. Уравнения посложнее

1.1. Уравнение с дробью

1.2. Уравнение с параметром a

2. Исследование функции

2.1. Экстремумы — где f′(x) = 0

2.2. Сложная функция — sin(x² + 1)

2.3. Физика — путь и скорость (производная по времени)

3. Красивый вывод и LaTeX

4. Переиспользуемые шаблоны

4.1. Решить уравнение и проверить корни

4.2. Производная n-го порядка

4.3. Шаблон «своя задача за 30 секунд»

Частые задания из школы и вуза

См. также